韦达定理公式详细讲解（初中数学知识盲区——–韦达定理与二次函数）

初三数学中二次函数占据了最重要的地位，要在中考中取得好成绩就必须把二次函数学好学透，现在我们来说一下二次函数知识的盲区。

韦达定理源自一元二次方程，我们先回顾一下一元二次方程公式法求根。

设ax²+bx+c=0,x₁、x₂是该方程的两个根。

则x₁、x₂= (-b±√(b^2-4ac))/2a

那么就可以推导出x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a，1/x₁+1/x₂=（x₁+x₂）/x₁·x₂。

我们从一元二次方程引申为二次函数y=ax²+bx+c

在二次函数y=ax²+bx+c中，若ax²+bx+c=0,x₁、x₂是该方程的两个根；

那么x₁、x₂的值在二次函数中的位置如图

此时，该二次函数对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b²)/4a

那么极值点h=(x₁+x₂)/2

下面例题如下：

已知二次函数y=-x²+px+q的图像与x轴交于(α，0)、(β，0)两点，且α>1>β，求证：p+q>1

证明：由题意，可知方程-x²+px+q=0的两根为α、β.

由韦达定理得 α+β=p，αβ=-q.

于是p+q=α+β-αβ，

=-(αβ-α-β+1)+1

=-(α-1)(β-1)+1>1(因α>1>β).

利用韦达定理时，用了一个极不起眼的等式x₁+x₂-x₁x₂，目的在于消元，消去未知系数，或者建立系数之间的联系。

再看下一个例子

求实数k，使得方程kx^2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数.

解：若k=0，得x=1，即k=0符合要求.

若k≠0，设二次方程的两个整数根为x₁、x₂，且x₁≤x₂，由韦达定理得

x₁+x₂=-（k+1）/k , x₁x₂=(k-1)/k

∴x₁x₂-x₁-x₂=2，

(x₁-1)( x₂-1)=3.

因为x₁-1、x₂-1均为整数，

所以x₁=2，x₂=4;x₁=-2，x₂=0.

所以k=1,或k=-1/7

题中x₁x₂-x₁-x₂消去了一元二次方程中的未知系数k